Ocena wątku:
  • 0 głosów - średnia: 0
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
Równanie iloczynu funkcji dwóch zmiennych
#1
Powiedzmy, że mamy następujące wyrażenie:

[(3^a*b-1)/(2^a*b-1)]*[(3^c*d-1)/(2^c*d-1)]*[(3^e*f-1)/(2^e*f-1)]*...*[(3^m*n-1)/(2^m*n-1)] = 2^x

Wszystkie zmienne są liczbami naturalnymi. Natomiast ilość czynników w tym wyrażeniu należy do przedziału <1, oo), tzn. może być dowolna.

PYTANIE: dla jakich wartości zmiennych i przy jakiej ilości czynników owe równanie jest spełnione? A dokładniej chodzi mi o to czy istnieją inne przypadki, że owe równanie jest spełnione, oprócz jednego przypadku mi znanego:

(3^1*1-1)/(2^1*1-1)=2^1


Ja mam problem z rozwiązaniem problemu choćby dla jednego przypadku gdy ilość czynników jest równa 1... Cóż zadanie by najmniej nie jest banalne - ostrzegam, ale może a nuż ktoś będzie wiedział...
Odpowiedz
#2
(3^a*b-1)/(2^a*b-1) = 2^x

(3^a*b-1) = (2^a*b-1)*2^x
I.3^a*b-1 - parzyste, 2^a*b-1 - parzyste
2^a*b musiałoby być nieparzyste, a to będzie zawsze parzyste, więc ten przypadek odpada.
II.3^a*b-1 - parzyste, 2^a*b-1 - nieparzyste
3^a*b musiałoby być nieparzyste, co oznacza, że b musiałoby być nieparzyste

Ilość czynników może być dowolna, gdy zmienne mogą mieć te same wartości.

Tyle narazie z siebie wykrzesałem
-Co teraz zrobisz?
-Zamknę oczy i pomodlę się, abyś zniknął.


JID: godlark@jabster.pl
Odpowiedz
#3
Zamieszczanie wzorów: http://forum.ateista.pl/showpost.php?p=4...ostcount=2
Null pointer exception
Odpowiedz
#4
godlark napisał(a):(3^a*b-1)/(2^a*b-1) = 2^x

(3^a*b-1) = (2^a*b-1)*2^x
I.3^a*b-1 - parzyste, 2^a*b-1 - parzyste
2^a*b musiałoby być nieparzyste, a to będzie zawsze parzyste, więc ten przypadek odpada.
II.3^a*b-1 - parzyste, 2^a*b-1 - nieparzyste
3^a*b musiałoby być nieparzyste, co oznacza, że b musiałoby być nieparzyste
A więc rozumiem, iż wniosek ogólny to: b musi być nieparzyste? Racja, wiem o tym.


Cytat:Ilość czynników może być dowolna, gdy zmienne mogą mieć te same wartości.
Zmienne mogą mieć te same wartości, ale zapomniałem dodać, że w danych czynnikach nie mogą występować pary takich samych zmiennych (takie przypadki mnie nie interesują).


Dodam jeszcze, iż:

(3^a*b-1)/(2^a*b-1) <=> ((3^a-2^a)*b)/(2^a*b-1) + 1

Może się przyda.
Odpowiedz
#5
William Bruce Rose Jr. napisał(a):Zmienne mogą mieć te same wartości, ale zapomniałem dodać, że w danych czynnikach nie mogą występować pary takich samych zmiennych (takie przypadki mnie nie interesują).

Trochę pogmatwane. Czy chodzi Ci o to, że dajmy na to a=/=b jeśli użyte w tym samym czynniku?
Odpowiedz
#6
A właściwe powiem więcej. Wiadomo, że funkcja:

(3^a*b-1)/(2^a*b-1)

zawiera się w granicach od 1,5^a + (1,5-1)/(2^a-1) do 1,5^a

Ponad to również:

(3^a*b-1)/(2^a*b-1) <=> (1,5^a*2^a*b-1)/(2^a*b-1) <=> 1,5^a + (1,5-1)/(2^a*b-1) <=> ((3^a-2^a)*b)/(2^a*b-1) + 1


Podobny problem mam również z podobną funkcją:

[(3^a*b+1)/(2^a*b+1)]*[(3^c*d+1)/(2^c*d+1)]*[(3^e*f+1)/(2^e*f+1)]*...*[(3^m*n+1)/(2^m*n+1)]

= 2^x

Tu są znane już dwa rozwiązania (też nie wiadomo czy jedyne). Mianowicie:

(3^2*1+1)/(2^2*1+1)=2^1

oraz

[(3^4*1+1)/(2^4*1+1)]*[(3^3*5+1)*(2^3*5+1)]=2^4



Ponad to wszystko można rozpisać na tego typu układy równań:

1.

(3^a*b-1)=2^x*(2^a*b-1)

2.

(3^a*b-1)=2^x*(2^c*d-1)
(3^c*d-1)=2^y*(2^a*b-1)

3.

(3^a*b-1)=2^x*(2^c*d-1)
(3^c*d-1)=2^y*(2^a*b-1)
(3^e*f-1)=2^z*(2^a*b-1)

4. itd.

Owe układy można przekształcić w szereg funkcyjny, np.:

f1=(3^a*b-1)/(2^a*b-1)=2^q

f2=(3^a*b-1)/(3^c*d-1)/(2^a*b-1)/(2^c*d-1)=2^v

f3=(3^a*b-1)/(3^c*d-1)/(3^e*f-1)/(2^a*b-1)/(2^c*d-1)/(2^e*f-1)=2^k

f4= itd.

Lub:

f1=a=LOG(((2^q*(2^a*b-1)+1)/b);3)

f2=c=LOG(((2^v*(2^(LOG(((2^x*(2^a*b-1)+1)/b);3))*d-1)+1)/d);3)

f3=e=LOG(((2^k*(2^(LOG(((2^v*(2^(LOG(((2^q*(2^a*b-1)+1)/b);3))*d-1)+1)/d);3))*f-1)+1)/f);3)

f4= itd.


Ponad to nie próbujcie szukać rozwiązania dla wartości wartości wyrażeń postaci (2^a*b-1) mniejszych od 2^58 na piechotę, bo takowe nie istnieją Oczko
Odpowiedz
#7
Cytat:Trochę pogmatwane. Czy chodzi Ci o to, że dajmy na to a=/=b jeśli użyte w tym samym czynniku?
Nie. Jeśli dana para to a=1 i b=1, to kolejna para może wyglądać tak:

c=1 i d=17

lub

c=555 i d=1

Natomiast nie może być tak, że a=c i b=d.
Odpowiedz
#8
dla b=1, (3^a*b-1)/(2^a*b-1) można rozwinąć jako:
(3/2)^a + (3/4)^a - (3/8)^a + (3/16)^a - (3/32)^a
2^x = (3^a*b-1)/(2^a*b-1) => (3/2)^a + (3/4)^a większe od 2^x i mniejsze od 2^x+1
-Co teraz zrobisz?
-Zamknę oczy i pomodlę się, abyś zniknął.


JID: godlark@jabster.pl
Odpowiedz
#9
godlark napisał(a):dla b=1, (3^a*b-1)/(2^a*b-1) można rozwinąć jako:
(3/2)^a + (3/4)^a - (3/8)^a + (3/16)^a - (3/32)^a
2^x = (3^a*b-1)/(2^a*b-1) => (3/2)^a + (3/4)^a większe od 2^x i mniejsze od 2^x+1
Ale przecież:

(3^1-1)/(2^1-1) = 2

Natomiast:

(3/2)^1 + (3/4)^1 - (3/8)^1 + (3/16)^1 - (3/32)^1 = 1,97

Podobnie:

(3^2-1)/(2^2-1) = 2,67

(3/2)^2 + (3/4)^2 - (3/8)^2 + (3/16)^2 - (3/32)^2 = 2,7
Odpowiedz
#10
Sorry, zapomniałem dodać trzech kropek.
To będzie (3/2)^a + (3/4)^a +
sumowanie{indeks. dolny i =1, indeks górny &[nieskończoność]} - E[(3/(2^(i+2)))^a*(-1)^i]

Jak się nauczę Latexa to wprowadzę wzór.
-Co teraz zrobisz?
-Zamknę oczy i pomodlę się, abyś zniknął.


JID: godlark@jabster.pl
Odpowiedz
#11
godlark napisał(a):Sorry, zapomniałem dodać trzech kropek.
To będzie (3/2)^a + (3/4)^a +
sumowanie{indeks. dolny i =1, indeks górny &[nieskończoność]} - E[(3/(2^(i+2)))^a*(-1)^i]
Rozumiem.
Cytat:Jak się nauczę Latexa to wprowadzę wzór.
To tu jest Latex?
Odpowiedz
#12
William Bruce Rose Jr. napisał(a):Rozumiem.
To tu jest Latex?
Chodziło mi o tą stronkę co podał athei.
-Co teraz zrobisz?
-Zamknę oczy i pomodlę się, abyś zniknął.


JID: godlark@jabster.pl
Odpowiedz
#13
A ja wpadłem na to:

(3^a*b-1)/(2^a*b-1) <=> (1,5^a-1)*(2^a*b)/(2^a*b-1)+1

(1,5^a-1)*(2^a*b)/(2^a*b-1) = 2^x-1

Żeby wyrażenie (1,5^a-1) pomnożone przez jakąś liczbę dawało wynik całkowity owa liczba musi być postaci 2^a*z*10^n, przy czym n może być ujemne. Pytanie czy wyrażenie (2^a*b)/(2^a*b-1) może być liczbą tej postaci poza jednym znanym przypadkiem?

(2^a*b)/(2^a*b-1) można też zapisać jako 2p/(2p-1)

Wtedy (2p*10^n)/(2p-1) musiałoby być liczbą całkowitą postaci 2^a*z, a to chyba niemożliwe, ale jeszcze nie jestem pewien.
Odpowiedz
#14
Albo mam tu coś innego:

(3^a*b-1)/(2^a*b-1) <=> (2^a*b)*(1,5^a-1)/(2^a*b-1) + 1

(2^a*b)*(1,5^a-1)/(2^a*b-1) = 2^x - 1

(2^a*b)/(2^a*b-1) = (2^x-1)/(1,5^a-1)

Wyrażenie (2^a*b)/(2^a*b-1) można zapisać jako 2n/(2n-1). Natomiast wyrażenie (2^x-1) jest podzbiorem 2p-1. Zatem:

2n/(2n-1) = (2p-1)/(1,5^a-1)

Żeby równanie było spełnione to 1,5^a-1 musiałoby być liczbą postaci 2p-2, dla p większego niż 1, natomiast to niemożliwe.
Odpowiedz
#15
William Bruce Rose Jr. napisał(a):Żeby równanie było spełnione to 1,5^a-1 musiałoby być liczbą postaci 2p-2, dla p większego niż 1, natomiast to niemożliwe.
Oczywiście ten wniosek jest błędny.

Trzeba po prostu rozwiązać równanie:

2n/(2n-1) = (2p-1)/(1,5^a-1)
Odpowiedz
#16
godlark napisał(a):Sorry, zapomniałem dodać trzech kropek.
To będzie (3/2)^a + (3/4)^a +
sumowanie{indeks. dolny i =1, indeks górny &[nieskończoność]} - E[(3/(2^(i+2)))^a*(-1)^i]
A jak w ogóle wyprowadziłeś ten wzór?
Odpowiedz
#17
Sorry, całkowicie sobie zapomniałem o temacie
dla b = 1
(3^a-1)/(2^a-1) = {[1,5^a(2^a-1)+1,5^a-1]/(2^a-1)} = 1,5^a+(1,5^a-1)/(2^a-1); i tak skracać w nieskończoność, więc: 1,5^a+(3/4)^a+(3/8)^a + ... - 1.
Nie wiem jak później doszłem do tego na przemian dodawania i odejmowania:/.
-Co teraz zrobisz?
-Zamknę oczy i pomodlę się, abyś zniknął.


JID: godlark@jabster.pl
Odpowiedz
#18
Pewne jest, iż jeśli:

(3^a*k-1)/(2^a*k-1) = 2^x

to:

3^a * k = 3^{a+c}/2^{b+c} * k - 3^{c}/2^{b+c} + 3^{c}/2^{c}

Jest to równanie czterech zmiennych, ale może okaże się mniej oporne.

Jak na razie wiemy, że równość jest spełniona dla jednego znanego nam przypadku:

3^1 * 1 = 3^{1+1}/2^{1+1} * 1 - 3^{1}/2^{1+1} + 3^{1}/2^{1}

:wall:
Odpowiedz
#19
Mam dowód (mam nadzieję, że poprawny), dla pierwszego przypadku, czyli:

(3^{a}*k-1)/(2^{a}*k-1) = 2^{x}


3^{a}*k-1 <=> 2^{a-1}*k * E_{i=0}^{a-1} (1,5^{a-1}) + 2^{a}*k-1

Enigmatyczna literka "E" to suma składniów postaci 1,5^{a-1} od i=0 do a-1.

Mamy zatem:

(2^{a-1}*k * E_{i=0}^{a-1} (1,5^{a-1}) + 2^{a}*k-1)/(2^{a}*k-1) = 2^{x}

(2^{a-1}*k * E_{i=0}^{a-1} (1,5^{a-1}))/(2^{a}*k-1) +1 = 2^{x}

(2^{a-1}*k * E_{i=0}^{a-1} (1,5^{a-1}))/(2^{a}*k-1) = 2^{x}-1

(2^{a-1}*k)/(2^{a}*k-1) * E_{i=0}^{a-1} (1,5^{a-1}) = 2^{x}-1

Aby po lewej stronie otrzymać wynik całkowity owa suma musi być pomnożona przez liczbę postaci 2^{a-1}*k lub 1/( 2^{a-1}*k), natomiast wyrażenie (2^{a-1}*k)/(2^{a}*k-1) będzie liczbą tej postaci tylko dla jednego przypadku a=1 i k=1, dla wszystkich pozostałych przypadków nie daje nawet wartości całkowitych.
Odpowiedz
#20
Wkradł się drobny błąd. Wykładnik składników występujących w sumie ma być równy oczywiście "i", a nie "a-1". Czyli:

E_{i=0}^{a-1} (1,5^{i})
Odpowiedz


Skocz do:


Użytkownicy przeglądający ten wątek: 1 gości